Course 221: Michaelmas Term 2006 Section 1: Sets, Functions and Countability

1 Sets, Functions and Countability 2 1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Cartesian Products of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 The Graph of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Functions and the Empty Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Injective, Surjective and Bijective Functions . . . . . . . . . . 11 1.9 Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.10 Preimages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.11 Finite and Infinite Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.12 Countability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.13 Cartesian Products and Unions of Countable Sets . . . . . . . 18 1.14 Uncountable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.15 Power Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.16 The Cantor Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22